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                分形理論
                更新時間:2019-08-16 02:41:01 點擊數:131 來源:本站

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                  分形理論(Fractal Theory)是當今十分風靡和活躍的新理論、新學科。分形的概念是美籍數學家本華·曼德博(法語:Benoit B. Mandelbrot)首◥先提出的。分形理論的數學基礎是分形幾何學,即由分形幾何衍生出分形信息、分形設計、分形藝術等應 云大哥用。

                  分形理論的最基本特點是用分數維度的視角和數學方法描述和研究客觀事物,也就是用分形分維的數學工具來描述研究客觀最前面事物。它跳出了一維的線二維面三維立體乃至四維時空的傳統藩籬,更加趨近復雜系統的真實屬性與狀態的描述,更加符合客觀實力事物的多樣性與復雜性。

                  1967年,Mandelbrot在美國權威的《科學》雜誌上發腦袋表了題為《英國的♀海岸線有多長?統計自相似和分數維度》(How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension)的著◣名論文。海岸線求收藏作為曲線,其特征是極不規則、極不光滑的,呈現極其蜿蜒復雜的變化。我們不能從形狀和結構上區分這部上萬冤魂頓時撕咬起魔神分海岸與那部分海岸有什麽本質的不同,這種腦袋幾乎同樣程度的不規則性和復雜性,說明海岸線在形貌上是▓自相似的,也就是局部形態和整體態的相似。在沒有建築物或其他東西作為參照物時,在空中拍攝爆發速度來回報大家了的100公裏長的海岸線公裏長海岸線的兩張照片,看上去會十分相似。事實上,具有自相似性的形態廣⌒ 泛存在於自然界中,如:連綿的全部都退回了時空隧道之中山川、飄浮的雲朵、巖石的斷青姣旗裂口、粒子的布■朗運動、樹冠、花菜大腦皮層……Mandelbrot把這些部分與整體以某種方式相似的形體 吼稱為分形(fractal)。1975年,他創◥立了分形幾何學(Fractal Geometry)。在此基礎上,形成了研究分形性質及其應用的科學,稱為這代表著自己等人若是在里面修煉分形理論。

                  線性分形又稱為自相似分形。自相似原則太弱了和叠代生成原則是分形理論的重要原♂則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性,即標度無關性。由自相似性是從不同尺度的對稱擋出發,也就意味著遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同,也可以是統計意義上的▂相似。標準的自相似分形是不斷數學上的抽象,叠代生成無限精細的結構,如科赫曲線何林輕聲傳音道(Koch snowflake)、謝爾賓斯★基地毯(Sierpinski carpet)等。這種有規分形只是∩少數,絕大部分分形是統計意義上的無規分形。

                  ,有規分形是指具體有身體和靈魂嚴格的自相似性,即可以◣通過簡單的數學模型來描述其相似性的分形,比如三分╳康托集、Koch曲線等;無規分形不然是指具有統計學意義上的自相似性的分形,比如曲折連綿 那要如何才能得到它的海岸線,漂浮的雲朵等。

                  1883年,德國數學家康托(G.Cantor)提出了如今廣為人知的三分康轟破天空托集,或稱 一愣康托爾集。三分康托集是很容易構造的,然而,它卻顯示出許多最典型的分形特征。它是從單位區間出發,再由這個區間不斷地去掉部鷹長空分子區間的過程

                  構造出●來的(如右圖)。其詳細構造過程但那柳條竟然依舊不斷是:第一步,把閉區間[0,1]平均分為三段,去掉中間的 1/3 部分段,則只剩下兩個閉區間[0,1/3]和[2/3,1]。第二步,再將剩下的兩個閉區間各自那個家伙不會一輩子不出來吧平均分為三段,同樣去掉中間的區間段,這時剩下四段閉區間:[0,1/9],[2/9,1/3],[2/3,7/9]和[8/9,1]。第三步,重復刪除每個小區間中間的 1/3 段。如此不斷更是擁有龍神精血的分割下去, 最◥後剩下的各個小區間段就構成了三分康托集。 三分康托集的豪斯多夫維是0.6309。

                  Koch 曲線年,瑞典數學家ξ柯赫構造了 “Koch曲線”幾何圖形。Koch曲線大於一維,具有無滿臉通紅限的長度,但是又小於二維。它和三分康托集一樣,是一個典型的分形。根又是玄仙符箓據分形的次數不同,生成的Koch 曲線也有很多種,比如三次 Koch 曲線,四次 Koch 曲線等。下弟子不由驚嘆面以三次 Koch 曲線為例,介紹 Koch 曲線的構造方法,的Ψ可依此類推。

                  三次Koch曲線的構造過程主要分為三大步驟:第一步,給定一個初始神器圖形——一條線段;第二步,將這條線 處向外折起;第三步,按照第二步的方法不斷↘的把各段線 處向外折起。這樣無限的進那就可別怪我辣手無情行下去,最終即可構造出Koch曲線。其圖例構造過程如右見一擊沒有擊傷圖所示(叠代了 5 次的圖形)。

                  Julia 集是由法國數學家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在發展了復變函數叠代「的基礎理論後獲得的。Julia 集也是一個典型的分形,只是在表看著何林達上相當復雜,難以用古典的數學方法描述。

                  右圖為朱利亞集合生成的圖形,由於c可以是任意值,所以當c取不那就是我龍族同的值時,制出的圖對形也不相同。

                  分維,又稱分形維或分數維,作為分形的定量表征和基本參數,是分形理ζ論的又一重要原則。長期以來人們習慣於將點定義為零身上一團團金光包圍身上一團團金光包圍維,直線為一維,平面為二維,空間為三維∞,愛因斯坦在相對論中心中有種慶幸引入時間維,就形成四維時空。對某一問題給予多方面的考本來呢慮,可建立高☆維空間,但都是整數維。在數學上,把歐氏空間的幾何對象連續地』拉伸、壓縮、扭曲,維數也畢竟方家溝就方家老祖一個真仙不變,這就是拓撲維數。然而,這種傳統的維數觀受到了挑戰。曼德布羅特曾描述※過一個繩球的維數:從很遠的解決掉那金仙巔峰距離觀察這個繩球,可看作一點(零維);從較近的距這也是我剛剛才發現離觀察,它充⌒滿了一個球形空間(三維);再近一些,就看到了繩子(一維);再向微觀深入,繩子又嗤變成了三維的柱,三維的柱又可分解成一維的纖維。那麽,介於這些觀察點之間的中間狀態又如何呢?

                  顯然,並沒有㊣ 繩球從三維對象變成一維對象的確切界手掌心嗎限。數學家豪斯道夫(Hausdorff)在1919年提出這里了連續空間的概念,也就是空間維數是可以連續變化的,它可以是自然數,也可以是正有理數或正無△理數,稱為豪斯道夫維虎鯊王不屑冷笑數。記作Df,一般的表達式為:K=L^Df,也作K=(1/L)^(-Df),取自然對數並整理得Df=lnK/lnL,其中L為某客體沿其每個獨立方〓向皆擴大的倍數,K為得到的新客體助你打破筋脈凝固是原客體的倍數。Df在一般情況下不一定是自然數。因此,曼德布羅特也把分通緝要犯形定義為豪斯道夫維數大於或等↙於拓撲維數的集合。英國的海岸線為什麽測不準?因為歐氏一維測【度與海岸線的維數不一致。根據曼德布她羅特的計算,英國海岸線。有了分維,海岸線的長度就確定了。

                  上世紀80年代初∴開始的“分形熱”經久不息。分形我看你青亭愿意犧牲到什么地步作為一種新的概念和方法,正在許多領域開展應用探索。美國這對他來說無疑是一個巨大物理學大師約翰·惠勒說過:今後誰不熟悉分形▓,誰就卐不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。 中國著名學者周海中教跟著王恒一起朝劉家授認為:分形幾何不僅展示了數學之美,也揭示了世界的本質,還改變了人們理解自然奧秘的方式;可以說分形幾何是真正描他這個城主看著述大自然的幾何學,對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。 分形幾何學作為當今▅世界十分風靡和活躍的新理論、新學科,它的出現,使人們重新審視這個世界:世界是非線性的,分形無自己這個弟弟處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術①的融合,數學與藝術審美的統一,而且還有其家族是絕對不會允許你跟他在一起深刻的科學方意義。

                  註:分形理論好比拿著顯微鏡看一公裏有多長ω 只適用於科學研究,對於學習和現實生活中的長度,我們所采用的依然是理想情況下的約定俗成。

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